비문학 읽기
《페르마의 마지막 정리》
이 세상을 이루는 기본 원리는 무엇인가?
진정한 정의란 무엇일까, 우리는 대체 무엇을 추구하며 살아가야 할까? 물질을 쪼개고 쪼개다 보면 무언가 남게 될까, 아니면 아무 것도 남지 않게 될까? 수학의 모든 것을 떠받치고 있는 근본적 진리는 무엇일까, 1+1이 2라고 말하려면 먼저 ‘1’과 ‘2’와 ‘더하기’란 무엇인지를 알아야 하는 것이 아닐까?
| 배경읽기 |
페르마의 마지막 정리
고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스는 이 세상 모든 직각삼각형의 세 변의 길이가 x²+y²=z²이라는 방정식을 만족한
다는 것을 증명했다. 이런 피타고라스의 방정식을 만족하는 x, y, z의 값 중에서 세 수가 모두 정수인 쌍들은 피타고라스의 삼각수라고 불렸으며, 피타고라스학파는 이 삼각수의 개수가 무한히 많다는 것을 증명했다. 하지만 피타고라스의 방정식에 있는 지수를 2가 아니라 ‘3보다 큰 임의의 정수’로 바꾼다면 모든 게 달라졌다. xⁿ+yⁿ=zⁿ(n은 3 이상의 정수)이라는 간단해 보이는 새로운 방정식을 만족하는 정수 x, y, z의 값을 단 하나도 찾을 수가 없었던 것이다.
17세기의 위대한 수학자였던 피에르 드 페르마는 사람들이 새로운 방정식의 정수해를 아무도 못 찾는 것은 그것이 아예 존재하지 않기 때문이라는 충격적인 주장을 하면서, 그에 대한 아무런 증명도 남겨놓지 않았다. 그로부터 300년이 흐르는 동안 내로라하는 수학자들이 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 열정을 다했지만 이렇다 할 성과 없이 증명에 실패했다.
페르마의 마지막 정리가 이토록 오랫동안 앤드루 와이즈를 비롯한 수많은 수학자들의 관심을 받은 이유는 무엇이었을까? 새로운 공식을 증명하는 일은 왜 중요할까? 앤드루 와일즈의 증명은 수학의 세계에서 어떤 의미를 지닐까?
과대평가된 소수의 추론
14세의 소년 가우스는 숫자가 증가함에 따라 나타나는 소수의 대략적인 빈도수를 예견했는데, 가우스가 만들어낸 공식에 따라 예측한 소수의 개수는 비교적 정확했지만, 항상 실제 개수보다 약간 초과된 결과가 나타났다. 1조까지 테스트를 해본 결과 이러한 현상이 계속해서 나타났으므로, 가우스의 공식에는 ‘과대평가된 소수의 추론’이라는 거창한 이름까지 붙여졌다.
그러던 중 리틀우드는 '엄청나게 숫자가 커지면' 가우스의 공식은 실제보다 적은 개수의 소수를 낳을 수도 있다는 것을 증명했고, 스큐어스는 리틀우드가 말했던 '엄청나게 큰 숫자'가 대략 다음과 같다는 것을 증명했다.
‘100억을 100×100억×100억×100억 번 곱한 수(스큐어스의 수)’
하디의 계산에 의하면 이 우주 안에 존재하는 모든 입자들(개수: 100억에 100억을 7번 곱하고 1000만을 더 곱한 것)을 말판삼아 체스 경기를 벌인다고 했을 때 발생 가능한 모든 게임의 수가 대략 스큐어스의 수 정도가 된다고 한다. 이 스큐어스의 수조차 무한대에 비하면 아무 것도 아니다.
| 작품해설 |
철학하는 수학자들
철학자가 도대체 무엇을 하는 사람들인지 묻는 레온 왕자에게 피타고라스는 다음과 같이 대답했다고 한다.
